点到平面的距离公式（点到平面的距离公式推导）

矢量计算一直是一个很好的工具，它能够使数形结合，而且容易理解并方便计算。本文从矢量代数角度来推导这个公式。

先学习一些预备知识。

矢量的投影

我们学过物理知道，当拉动物体运动，只有沿着物体运动方向的力才能使物体做功，如图拉动小车，F的分力Fx使沿着水平方向才能使小车运动，其大小为Fx=F. cos, 我们称Fx是F在水平方向x轴的投影。

矢量v的顶点在矢量u上的投影记作(沿余弦方向)Prov (proj来自英语projection,投影的意思)， 如果向量u, v的夹角为θ，根据向量的性质有：

上面u或v两侧的双竖线表示向量的长度。

如果要求v沿着u的投影向量，我们将上式乘以u的单位向量，就可得Projuv

平面的矢量方程

如上图所示，n是平面的法线， PQ是平面的任意垂线，根据矢量正交点积为零有：

这就是平面的矢量方程。

令n = 〈 a, b, c 〉是个法向矢量，P = (x0, y0, z0)是平面上的一个点，Q = (x, y, z)是平面上所有的点集。所以：

因此可以得出平面方程的通式：

ax + by + cz + d = 0, 其中 d = −ax0 − by0 − cz0

一般系数用大写字母则有平面方程：

Ax + By +Cz + D = 0

点到平面的距离

有了上面的预备知识，我们就可以求点到平面的距离。

上图P点到平面的距离d就是向量RP的长度，而RP在n上的投影长度就是点P到平面的距离。

利用v在u上的投影公式：

由此得出点到平面的距离以矢量的表达方式为：

上面的公式中的Q点是平面上的任意一点，对于平面外的任意一点P来说，我们只有知道QP的向量即可，令Q是（0，0，0）， 那么QP=< x, y, z >

根据我们前面谈到的平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，显而易见n=<A,B, C >是该平面的一个法线矢量，带入上面的公式就有点到平面的坐标表达式：

例题：求点P =(3,1,2)与平面x−2y + z = 5的距离(见下图)。

平面方程的系数为平面提供了一个法向量:n = < 1,2,1 >。 找到向量

Q→P，我们需要平面上的一个点。 任意点都成立，设y = z = 0, Q =(5,0,0)点成立

在平面上。 求向量从Q到P的分量形式（即坐标形式）:

Q→P = 〈 3 − 5, 1 − 0, 2 − 0 〉 = 〈 −2, 1, 2 〉 .

因此：

读者也可以把点P的坐标x=3, y=1, z=2, 和平面方程的系数A=1, B=-2, C=1， D=-5z直接带入公式

得出的结果是一样的。