平方和公式是什么样子（自然数的平方和公式，居然可以利用三角形的重心来推导）

我们都知道自然数的平方和公式，利用数学归纳法也很容易证明。

连续自然数的平方和

但它是怎么推导出来的呢，恐怕很多人就不知道了。推导方法有很多，我们来看看国外某位大神的方法，居然利用三角形的重心，可谓是匠心独运。

假设平面上有1+2+……+n个小球，每个小球的质量都是1，它们均匀排列成一个倒置的等边三角形，如下图所示。为了计算方便，我们把最下方的小球放在坐标（0，1）处。

等边三角形阵列

将整个三角形阵列作为一个整体，考虑其重心位置的y坐标，有两种计算方法。

第一种方法，直接求出所有小球的y坐标的平均值，计算过程如下：

平均坐标法求重心位置

第二种方法，我们知道三角形的重心是三条中线的交点，并且这个交点把每条中线都分成了1：2的两段。

重心在高度的2/3位置

而整个三角形的高度是n-1，所以其重心的y坐标为：

利用几何定理求重心位置

两种计算方法得到的结果必然相等，于是我们得到：

自然数平方和公式推导

这个推导过程精彩绝伦，数学真是奇妙啊！