二次函数的三种表达式：

知识总结

二次函数的表达式有三种:

一般式 y=ax2+bx+c(a≠0)；

顶点式 y=a(x-h)2+k；

交点式 y=a(x-x1)(x-x2).

三种表达式各有特点，下面我们分别细说。

一、一般式：

一般式的表达式是y=ax2+bx+c(a≠0)，a、b、c分别是二次项、一次项、常数项的系数，a、b、c分别有什么用途呢？

1、a的符号确定了抛物线的开口方向，a＞0时，抛物线的开口向上，a＜0时，抛物线的开口向下.

2、因为对称轴为直线，如果a、b同号，＜0，则对称轴在y轴右侧；如果a、b异号，＞0，则对称轴在y轴左侧，因此根据a,b的符号可以判断出对称轴的位置:左同右异（即：a、b同号，对称轴下y轴左侧，a、b异号，对称轴在y轴右侧）.

3、因为抛物线与y轴交点坐标为(0，c)，所以根据c的符号可以判断抛物线与y轴交点的位置：当c＞0时，交点在y轴正半轴，当c＜0时，交点在y轴负半轴，当c=0时，抛物线经过原点（0,0）.

二、顶点式：

1、将抛物线的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)经过配方可以得到由顶点式，令可得对称轴为直线，代入顶点式可得定点的纵坐标为.根据顶点坐标公式可以求出对称轴为直线x=h，根据坐标的符号可以观察出顶点在第几象限.

2、平移抛物线时，最好化成顶点式，利用左加右减的法则平移.比如，将抛物线向左平移4个单位，再向下平移3个单位得到的解析式为，即；再如将抛物线向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到的解析式为.需要注意的是，左右平移在顶点横坐标后边加减，上下平移在顶点纵坐标后边加减.

3、利用抛物线的顶点式可以解决实际问题中的最值问题.

三、交点式：

1、交点式是由抛物线与x轴交点的横坐标得来的.设抛物线与x轴的两个交点为A（x1,0）、B（x2,0），那么可以将一般式化成交点式：y=a(x-x1)(x-x2).反过来，由交点式可以直接得到抛物线与x轴的交点坐标.

2、可以根据交点式快速求出抛物线的顶点坐标，，代入交点式y=a(x-x1)(x-x2)就可以得到顶点的纵坐标，而且，(x-x1)(x-x2)一定互为相反数，所以代入时只需代入一个因式，两个因式积的相反数再乘以系数，即可求出顶点纵坐标，在二次函数的实际应用中，利用这种方法求最大(或最小)值是很方便的。举例说明：

某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件）与每件的售价x(元）满足一次函数m=162-3x.

（1)写出商场销售这种商品每天的销售利润y与每件的售价x之间的函数关系式；

（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?

解：（1）y=（x-30）m=（x-30）（162-3x）

=-3（x-30）（x-54）

=-3（x-42）2+432

∵-3＜0,

∴当x=42时，y有最大值432.

（2）略

（理由：这个二次函数与x轴的交点坐标为x1=30，x2=54，所以对称轴为直线，代入函数关系式，即可求出最大值.）

注意：对于y=-3（x-30）（x-54）求最值，如果展开得到一般式，再去配方，计算量比较大，而用交点式求最值就简单多了.

方法：将二次函数的两个一次因式化为这种形式y=a(x-x1)(x-x2)，将对称轴代入即可求出最值.

经典例题讲解：

三、抛物线与直线的交点

任何两个函数图像的交点都可以联立两个函数的解析式，通过解方程组求出交点的坐标.

比如，求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点情况，因为x轴的解析式是y=0，所以联立两个解析式，解方程组就可以得到交点坐标.联立 解方程组即可，抛物线与x轴交点的情况其实就是方程ax2+bx+c=0解的情况：

（1）当△＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1，x2，方程组有两组解，那么抛物线与x轴有两个交点，坐标分别为A（x1,0）、B（x2,0）.反之也成立.

（2）当△=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x1=x2，方程组有两组相同的解，抛物线与x轴有一个交点，这时，二次三项式ax2+bx+c是一个完全平方式，抛物线与x轴的这个交点就是抛物线的顶点.反过来，如果抛物线的顶点在x轴上或者抛物线与x轴有一个交点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，二次三项式ax2+bx+c是一个完全平方式.

总结：△=0、一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根、二次三项式ax2+bx+c是一个完全平方式、抛物线的顶点在x轴上、抛物线与x轴有一个交点都是同一个意思.

（3）当△小于0时，一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，方程组无解，抛物线与x轴没有交点.

推广：求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=kx+b（k≠0）的交点坐标，只需联立两个解析式，解方程组即可.一元二次方程ax2+bx+c=kx+b的解的情况就是两个函数图形交点的情况，可以类比抛物线与x轴交点情况.其实任意两个函数的交点都可以联立两个函数的解析式解方程组求解.

经典例题：

已知抛物线与x轴交于A（1,0），B（-4,0）两点，与Y轴交于点C，且AB=BC，求此抛物线对应的函数表达式。

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习题精讲：：