线性回归方程两个公式怎么用（一文带您了解线性回归）
随着计算机技术的迅猛发展，机器学习在各行各业中已经成为一个不可或缺的工具。其中，回归算法是机器学习领域的一个关键组成部分，它被广泛用于预测数值型的输出结果。本文将重点介绍几种常见的回归算法，包括线性回归、多项式回归、决策树回归以及随机森林回归，并通过案例来解释什么是回归分析。
回归分析是一种统计学方法，用于建立一个数学模型，以了解一个或多个自变量（独立变量）与一个因变量（依赖变量）之间的关系。这个关系通常用一个方程来表示，该方程可以用来预测因变量的值。回归分析的目标是找到最合适的模型，以最好地拟合观测数据点，从而使我们能够进行有效的预测和推断。
回归分析在现实生活中有许多应用。以孩子的身高预测为例，我们可以收集大量不同家庭的数据，包括父母的身高和他们孩子的身高。然后，我们可以使用回归算法来建立一个模型，该模型可以根据父母的身高预测孩子的身高，考虑到遗传因素。这个模型可以帮助我们更好地理解身高的遗传规律，并在医学或遗传学研究中有重要的应用价值。
回归(Regression)简介
回归是一种简单而强大的预测模型，旨在学习输入变量和目标变量之间的关系。为了简单理解回归，我们回归熟悉简单直线方程(线性回归)：y=ax+b
这个既熟悉又简单的方程：y=ax+b用于在二维坐标系上画一条线。对这个方程进行分解以了解其每个术语。
- y：因变量，随自变量变化而改变的量。
- x：一个自变量，是一种可以改变的变量，是因果关系中的因变量。
- a：这是线的斜率，它告诉线的实际陡峭程度。
- b：这是 y 截距，它是y什么时候x等于 0。
回归算法的作用是尝试学习或近似求解a和b使得对于任何值x我们可以准确预测的值y. y=ax+b 是一条线或直线，所以称之为线性回归，是回归家族最为简单、直观的。如果数据之间的关系更加复杂，线性模型可能无法很好地拟合数据，需要考虑使用其他回归方法，例如多项式回归、决策树回归或随机森林回归，以更好地适应数据的复杂性；这些方法更好适应非线性关系，从而提高了对数据的拟合能力。接下来先从最简单线性回归开始。
线性回归(LinearRegression)
为了更直观地理解线性回归概念，假设我们想要根据房屋的面积来预测房屋的价格。我们所关心的预测值是房价（house price），这个预测值依赖于房屋的面积（area）。如果房屋的面积与价格存在关联，那么随着面积的增加，我们应该观察到价格也相应上升的趋势。这有助于我们理解这两个变量之间的关系，从而使我们能够对任何给定面积的房屋价格做出预测。
房屋特征及价格的数据集来源于Kaggle，包含有关房屋属性和价格的信息:https://www.kaggle.com/datasets/yasserh/housing-prices-dataset
利用SNB快速创建一个散点图，可视化房价与面积两个变量之间关系。
数据中似乎存在上升趋势，然而，在散点图的左下角也似乎有一些轻微的聚集。这可能表明我们的数据存在一定程度的偏斜，因此，让我们也来可视化每个变量的分布情况。
正如预想的一样，数据呈右偏态(right skewed)。在大多数机器学习项目中，数据的偏斜性对预测产生不理想的结果，但，有方法可以解决这个问题。需要使用"对数(log/ln)"对数据转换到更接近正态分布的情况。
regression_data = df1[['area', 'price']]
transformed = np.log(regression_data)
现在数据是基本对称的，接下来可以将数据分割成训练集和测试集，并开始训练我们的模型。
import pandas as pd
import seaborn as sns
import numpy as np
from math import sqrt
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import r2_score, mean_squared_error
from sklearn.model_selection import train_test_split
inputs = np.array(transformed['area']).reshape(-1, 1)
target = transformed['price']
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(inputs, target, test_size=0.2, random_state = 2023)
model = LinearRegression()
model.fit(x_train, y_train)模型评估(Evaluation)
变量model是已经训练好的回归模型，评估/检查模型在预测房屋价格方面的性能(效果和准确性)。首先，我们会在测试数据集上调用predict()方法，以获得一组预测的房屋价格；然后预测和实际的房屋价格进行计算评估指标，比如：r2 score 、rmse(root mean squared error).
- r2：告诉我们模型与数据的拟合程度并解释我们的数据。r2分数为1.0意味着完美拟合，我们的模型可以解释 100% 的数据集。r2 为0意味着模型无法确定数据集中的可预测关系。
- rmse：是我们预测误差的偏差。它告诉我们数据点与回归线的平均距离有多远。换句话说，它告诉您数据在最佳拟合线周围的集中程度。例如，rmse为10 意味着无论我们预测什么价格，我们都应该期望实际价格与预测价格相差 10 美元以内。
predictions = model.predict(x_test)
rmse = round(sqrt(mean_squared_error(y_test, predictions)), 2)
r2 = round(r2_score(y_test, predictions), 2)
print('rmse:',rmse)
print('r2:',r2)rmse: 0.33
r2: 0.19
最后，可以提取最佳拟合线: y=ax+b, 过引用属性model.coef和model.intercept_模型输出来绘制数据的回归线。
slope = model.coef_[0]
intercept = model.intercept_
print(f"slope:{slope}")
print(f"intercept:{intercept}")
x = np.linspace(7, 10, 5)
y = [(slope * val) + intercept for val in x]
var = {'x': x, 'y': y}
line = pd.DataFrame.from_records(var)
import seaborn as sns
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
sns.scatterplot(x="area", y="price", data=transformed,ax=ax)
sns.regplot(x="x", y="y", data=line,color='r')
plt.show()
多元线性回归(Multiple linear regression)
上面示例是简单线性回归模型中，我们只使用一个输入值来预测目标值。这种简单性使得数据可视化和模型实现变得容易。然而，简单线性回归的结果可能不是最准确的。为了提高模型的准确性，可以训练一个多元线性回归模型。区别是：多元线性回归可以利用多个输入值(多个自变量)来预测目标变量，因此得名"多元"线性回归。
分类变量的编码
在大多数机器学习模型中，输入自变量必须是数值。这些模型的数学性质使得类似于 bedrooms = 4 或 bathrooms = 2 的列很容易理解。然而，诸如 basement = Yes 或 furnish_status = furnished 这样的分类意味着对于模型来说毫无意义。我们需要一种方法来对这些分类值进行编码，以便模型知道如何赋予这些值含义。LabelEncoder编码是一种常见编码方式：将类别型进行排序并赋值。
使用LabelEncoder 对数据集分类变量进行编码：
for col in df1.columns :
if df1[col].dtype == 'object':
df1[col] = LabelEncoder().fit_transform(df1[col])
df1
接下来使用多元线性回归进行建模和评估：
inputs = df1[df1.columns[1:]]
target = df1['price']
mul_x_train, mul_x_test, mul_y_train, mul_y_test = train_test_split(inputs, target, test_size=.2, random_state = 222)
model = LinearRegression()
model.fit(mul_x_train, mul_y_train)
y_pred = model.predict(mul_x_test)
multiple_mse = round(sqrt(mean_squared_error(mul_y_test, y_pred)), 2)
multiple_r2 = round(r2_score(mul_y_test, y_pred), 2)
print(f'multiple_mse:{multiple_mse}')
print(f'multiple_r2:{multiple_r2}')模型性能指标如下：
multiple_mse:0.22
multiple_r2:0.71
模型比较
就最佳拟合而言，简单模型具有 19% 的 R² 分数，而多元线性回归模型具有 71% 的 R² 分数。性能提高了 373%.
就误差范围而言，简单模型具有 0.33 的 RMSE 分数，而多元线性回归模型具有 0.22 的 RMSE 分数。误差范围减小了 66.67%！
理想情况下：希望一个模型具有高的 R² 分数和低的 RMSE。多元线性回归模型是更好的模型，因为它将提供更精确的、更准确的预测。
