三角形的中位线定理（三角形中位线性质及其应用）

三角形中位线性质定理的应用是中考的热门考点之一，该定理常用来证明线段相等或计算线段的长度。学习该定理应掌握以下三个方面内容。

一、理解并掌握三角形中位线的性质定理。

1、三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。

2、三角形中位线性质定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半。

3、命题证明:

1、分析命题:

题设:如果一条线段是三角形的中位线。

结论:那么这条线段平行于三角形的第三边且等于第三边的一半。

2、画出图形:

分析与图形有关词语是:①三角形②中位线

3、写出已知和求证

已知:△ABC中，点D、E分别是AB，AC的中点

求证:DE//BC，DE=1/2BC

4:证明:

分析:证明某线段等于另一线段的一半时，常常延长较短线段的一倍，再证明线段相等。证明线段相等常用方法是三角形全等，本次利用平行四边形对边相等证明线段相等。

证明:延长DE到F，使DE=EF，连结CF。

∵AE=EC，DE=EF

∴四边形ADCF是平行四边形

∴AD//CF且AD=CF

∴BD//CF且BD=CF

∴四边形BCFD为平行四边形

∴DF=BC且DF//BC

∵DE=1/2DF

∴DE//BC且DE=1/2BC。

例1、已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F，G分别是AD，AE的中点，且FG=2cm，则BC长是多少？

解∵F，G为AD，AE中点

∴DE=2FG=2×2=4cm

同理BC=2DE=2×4=8cm。

例2、如图，D是△ABC内一点，BD丄CD，AD=7，BD=4，CD=3，E，F，G，H分别是AB，

BD，CD，AC的中点，则四边形EFGH的周长为( )A，12 B，14 C，24 D，21

解:∵BD丄CD

∴∠BDC=90°

在Rt△ADC中，BD=4，CD=3

由勾股定理可得BC=√BD²+CD²=√4²+3²=5

∵E，F分别是AB，BD的中点，

∴EF=1/2AD=1/2×7=3.5

同理HG=1/2AD=3.5

EH=FG=1/2BC=1/2×5=2.5

∴四边形EFGH周长=2×(3.5+2.5)=12

二、应用三角形中位线性质解决四边形的有关问题

例1、顺次连接四边形各边中点所成的四边形一定是平行四边形。

已知:如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD中点，求证:四边形EFGH为平行四边形。

分析:当题中有中点时，特别是有两个中点时，如果中点在一个三角形中，直接用三角形中位线定理；如果不在一个三角形中，则需要连结四边形的对角线，构造三角形，再利用三角形中位线解答问题。

证明:连结AC

∵E，F分别是AB，BC中点，

∴EF//AC且EF=1/2AC

同理HG//AC且HG=1/2AC

∴EF//HG且EF=HG

∴四边形EFGH为平行四边形。

例2、如图:在△ABC中，延长BC至D，

使CD=1/2BC，过AC的中点E作EF//CD(点F位于点E右侧)且EF=2CD，连接DF，若AB=8，则DF长为( )

A，3 B，4 C，2√3 D，3√2

分析:延长FE交AB于点M，则M为AB中点。从而可得BD=MF，又因为EF//CD，可得BDFM为平行四边形，从而得

DF=BM=1/2AB=1/2×8=4

三、三角形中位线常见题型。

例1、(2019，湖州中考题)如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连接DF，EF，BF。

(1)求证:四边形BEFD是平行四边形

(2)若∠AFB=90°，AB=6，求四边形BEFD的周长。

证明:(1)∵D，F为AB，AC中点

∴DF//BC，同理EF//AB

∴四边形BEFD为平行四边形。

解(2)∵∠AFB=90°，又∵D为AB中点。

∴DF=1/2AB=1/2×6=3(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。这一定理在矩形性质一节)

BD=1/2AB=1/2×6=3

∴平行四边形BEFD周长=2×(3+3)=12

例2、在△ABC中，M是BC的中点，AD平分

∠BAC，BD丄AD于点D，AB=10，AC=14，

求DM的长。

分析:当题中只有一个中点时，需要添加辅助线，构造三角形的中位线。因为AD丄BD，且平分∠BAD可得△BAE为等腰三角形，D为BE中点。

解:延长BD交AC于点E。

∵AD丄B，AD平分∠BAC

∴△BAE为等腰三角形

∴AE=AB=10，D为AE中点

∴CE=AC－AE=14－10=4

∵M为AC中点，D为AE中点

∴DM=1/2CE=1/2×4=2