13.1 线积分(Line integral)

利用线积分可以计算变力沿空间路径所做的功, 流体沿曲线和通过边界流动的速率.

定义

设 f(x,y,z) 为实值函数, 定义域包含曲线 C: r(t)=g(t) i+ h(t)j + k(t)k, a<=t<=b. 将曲线分割成有限线段. 设一小段弧长为 ∆sk, 并取上取点 (xk,yk,zk) , 有和式:

如果 f 连续, 且 g, h 和 k 均有一阶连续到时候. 那么当划分区间数量 n 不断增加, 小段弧长 ∆sk 趋近于零时, 称为相应的极限为 f 在曲线上从 a 到 b 的线积分, 记为:

物理与几何意义

线积分(第一类曲线积分)的物理意义就是求曲线质线的质量, f(x,y) 为线密度, ds可以被看作积分路径上的一段很小的"弧长".

其几何意义上求柱面的面积:

用等分点将 C 分成 n 小段, 随着划分数量趋于无穷, 小矩形宽度 λ 趋于 0, 而全部小矩形面积之和就等于柱面的面积 :

线积分可以计算空间中光滑曲线的质量分布问题, 设质量分布函数 δ(x,y,z),

对光滑曲线的计算

若曲线C 上对连续函数 f(x,y,z)可用下面方式来计算线积分:第一步: 找出曲线 C 的参数表达式: r(t)=g(t) i+ h(t)j + k(t)k, a<=t<=b第二步: 计算积分式子:

如果 f 取值为常数 1, 那么 f 沿 C 的线积分就是计算曲线 C 的长度.